Question

在空间四边形ABCD中，己知AB=AD，则BC=CD是AC⊥BD的

1. A.
   充分条件
2. B.
   必要不充分条件
3. C.
   充要条件
4. D.
   既不充分又不必要条件

Answer 1

C
分析：先根据AB=AD以及BC=CD得到同一底边上的中点合一，进而得到线线垂直，推出线面垂直得到AC⊥BD；再根据AC⊥BD以及AE⊥BD得到BD⊥CE进而得到其为等腰三角形即可得到BC=CD．
解答：过A，C作AE⊥BD，CF⊥BD

∵AB=AD，BC=CD
∴△ABD与△BCD都是等腰三角形
∴E，F重合（三线共点）且为BD的中点，
∴AE⊥BD，CE⊥BD
故BD⊥平面ACE?BD⊥AC．
反之：由BD⊥AC，AE⊥BD?BD⊥平面ACE?BD⊥CE，
又因为E为BD的中点，
即中线高线合二为一．
∴△BCD为等腰三角形，
∴BC=BD．
即BC=CD是AC⊥BD的充要条件．
故选：C．
点评：本题考查证明线线垂直、线面垂直的方法，直线与平面垂直的判定、性质的应用以及充要条件的证明，过A，C作AE⊥BD，CF⊥BD，是解题的突破口．