Question

一个箱中原来装有大小相同的 5 个球，其中 3 个红球，2 个白球．规定：进行一次操 作是指“从箱中随机取出一个球，如果取出的是红球，则把它放回箱中；如果取出的是白 球，则该球不放回，并另补一个红球放到箱中．”
（1）求进行第二次操作后，箱中红球个数为 4 的概率；
（2）求进行第二次操作后，箱中红球个数的分布列和数学期望．

Answer 1

解：（1）设A₁表示事件“第一次操作从箱中取出的是红球”，
B₁表示事件“第一次操作从箱中取出的是白球”，
A₂表示事件“第二次操作从箱中取出的是红球”，
B₂表示事件“第二次操作从箱中取出的是白球”．
则A₁B₂表示事件“第一次操作从箱中取出的是红球，第二次操作从箱中取出的是白球”．
由条件概率计算公式得P（A₁B₂）=P（A₁）P（B₂|A₁）=．
B₁A₂表示事件“第一次操作从箱中取出的是白球，第二次操作从箱中取出的是红球”．
由条件概率计算公式得P（B₁A₂）=P（B₁）P（A₂|B₁）==．
A₁B₂+B₁A₂表示“进行第二次操作后，箱中红球个数为 4”，又A₁B₂与B₁A₂是互斥事件．
∴P（A₁B₂+B₁A₂）=P（A₁B₂）+P（B₁A₂）=．
（2）设进行第二次操作后，箱中红球个数为X，则X=3，4，5．
P（X=3），P（X=4）=，
P（X=5）=．
进行第二次操作后，箱中红球个数X的分布列为：
进行第二次操作后，箱中红球个数X的数学期望
EX==．
分析：（1）“进行第二次操作后，箱中红球个数为 4”，包括事件“第一次操作从箱中取出的是红球，第二次操作从箱中取出的是白球”和事件“第一次操作从箱中取出的是白球，第二次操作从箱中取出的是红球”，利用条件概率和互斥事件的概率计算公式即可得出．
（2）设进行第二次操作后，箱中红球个数为X，则X=3，4，5．利用相互独立事件的概率计算公式即可得出概率和分布列，再利用数学期望计算公式即可得出．
点评：熟练掌握分类讨论思想方法、条件概率和互斥事件的概率计算公式、相互独立事件的概率计算公式、数学期望计算公式是解题的关键．