Question

已知函数f（x）=-

3

sin²x+sinxcosx．
（Ⅰ）求f（

25π

6

）的值；
（Ⅱ）设α∈（0，π），f（

α

2

）=

1

4

-

3

2

，求sinα的值．

Answer 1

分析：（1）先求出sin

25π

6

、cos

25π

6

的值代入即可得到答案．
（2）根据正弦和余弦的二倍角公式将函数f（x）化简，然后将x=

α

2

代入即可得到答案．

解答：解：（1）∵sin

25π

6

=

1

2

，cos

25π

6

=

3

2

，∴f（

25π

6

）=-

3

sin2

25π

6

+sin

25π

6

cos

25π

6

=0．
（2）f（x）=

3

2

cos2x-

3

2

+

1

2

sin2x．
∴f（

α

2

）=

3

2

cosα+

1

2

sinα-

3

2

=

1

4

-

3

2

16sin²α-4sinα-11=0，
解得sinα=

1±3 5

8

∵α∈（0，π），∴sinα＞0
故sinα=

1+3 5

8

．

点评：本题主要考查三角函数的二倍角公式的应用．三角函数的二倍角公式在高考中是热点内容，每年必考，要给予重视．