Question

已知函数f（x）=sinx•cosx+sin²x（x∈R）．
（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（2）若角A是锐角三角形的一个内角，求f（A）的取值范围．

Answer 1

分析：（1）通过二倍角公式以及两角和的正弦函数化简函数f（x）的表达式，化简为一个角的一个三角函数的形式，利用正弦函数的周期公式求出最小正周期，正弦函数的单调增区间求解函数的单调递增区间；
（2）通过角A是锐角三角形的一个内角的范围，求出表达式f（A）的相位的范围，利用正弦函数的值域求解函数的取值范围．

解答：解：（1）f(x)=

1

2

sin2x+

1-cos2x

2

=

1

2

sin2x-

1

2

cos2x+

1

2

=

2

2

sin(2x-

π

4

)+

1

2

，
∴最小正周期T=

2π

2

=π．
令2kπ-

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，
解得kπ-

π

8

≤x≤kπ+

3π

8

，
∴f（x）的单调递增区间为[kπ-

π

8

，kπ+

3π

8

]k∈Z．
（2）∵A是锐角三角形的一个内角，
∴0＜A＜

π

2

，∴-

π

4

＜2A-

π

4

＜

3

4

π，
∴f(A)=

2

2

sin(2A-

π

4

)+

1

2

的取值范围为(0，

2 +1

2

]

点评：本题考查三角函数的化简求值，二倍角公式以及两角和的正弦函数的应用，正弦函数的单调区间的求法，考查计算能力．