Question

已知等比数列{a_n}中，a₁=

1

3

，公比q=

1

3

．
（I）S_n为{a_n}的前n项和，证明：S_n=

1-an

2

（II）设b_n=log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a_n，求数列{b_n}的通项公式．

Answer 1

证明：（I）∵数列{a_n}为等比数列，a₁=

1

3

，q=

1

3

∴a_n=

1

3

×(

1

3

)n-1=

1

3n

，
S_n=

1 3 (1-  1 3n )

1- 1 3

=

1- 1 3n

2

又∵

1-an

2

=

1- 1 3n

2

=S_n
∴S_n=

1-an

2

（II）∵a_n=

1

3n

∴b_n=log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a_n=-log₃3+（-2log₃3）+…-nlog₃3
=-（1+2+…+n）
=-

n(n+1)

2

∴数列{b_n}的通项公式为：b_n=-

n(n+1)

2