Question

已知函数y＝f(x)的图象是自原点的一条折线，当n≤y≤n＋l(n＝0，1，2，…)时，该图象是斜率为bn的线段(其中正常数b≠1)，该数列｛xn｝由f(xn)＝n(n＝1，2，…)定义． (1) 求x1、x2和xn的表达式 (2) 求f(x)的表达式，并写出其定义域 (3) 证明：y＝f(x)的图象与y＝x的图象没有横坐标大于1的交点．

Answer 1

答案：
解析：

(1)	解析：(1)依题意f(0)＝0，又由f(x1)＝1，当0≤y≤1时，函数y＝f(x)的图象是斜率为＝1的线段，故由＝1，得x1＝1． 　　又由f(x2)＝2，当1≤y≤2时，函数y＝f(x)的图象是斜率为b的线段，故由＝b，即x2－x1＝，得x2＝1＋． 　　记x0＝0，由函数y＝f(x)图象中第n段线段的斜率为bn+1，故得＝bn－1． 　　又f(xn)＝n，f(xn－1)＝n－1，∴xn－xn－l＝()n－1，n＝1，2，…，所以数列｛xn－xn－1｝为等比数列，其首项为1，公比为． 　　因b≠1，得xn＝＝1＋＋…＋＝，即xn＝(nN*)．
(2)	当0≤y≤1，从(1)可知y＝x，即当0≤x≤1时，f(x)－x；当n≤y≤n＋1时，即当xn≤x≤xn+1时，由(1)可知f(x)＝n＋bn(x－xn)(xn≤x≤xn+1，n＝1，2，3，…)． 　　为求函数f(x)的定义域，须对xn＝(n＝1，2，3，…)进行讨论． 　　当b＞1时，＝＝ 　　当0＜b＜1时，n→∞，xn也趋向于无穷大． 　　综上，当b＞l时，y＝f(x)的定义域为［0，)；当0＜b＜1时．y＝f(x)的定义域为［0，＋∞］．
(3)	首先证明当b＞1，1＜x＜时，恒有f(x)＞x成立． 　　对任意的x∈(1，)，存在xn，使xn＜x≤xn+1 　　此时有f(x)－f(xn)＝bn(x－xn)＞x－xn(n≥1) 　　∴f(x)－x＞f(xn)－xn． 　　又f(xn)＝n＞1＋＋…＋＝xn 　　∴f(xn)－xn＞0，∴f(x)－x＞f(xn)－xn＞0．即有f(x)＞x成立． 　　其次，当b＜1，仿上述证明．可知当x＞1时，恒有f(x)＜x成立． 　　故函数f(x)的图象与y＝x的图象没有横坐标大于1的交点． 　　点评：此题是一道数列、函数、解析几何以及不等式的综合题．有利于培养学生综合解决问题的能力．