Question

已知函数f(x)=

-2x+n

2x+1+m

图象关于原点对称，定义域是R．
（1）求m、n的值；
（2）若对任意t∈[-2，2]，f（tx-2）+f（x）＞0恒成立，求实数x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由函数图象关于原点对称，故函数为奇函数，根据f（0）=0，f（1）=-f（-1）可得m、n的值；
（2）根据指数函数的图象和性质，分析出函数的单调性，结合（1）中函数的奇偶性，可将不等式f（tx-2）+f（x）＞0化为xt+x-2＜0对任意的t∈[-2，2]恒成立，进而得到实数x的取值范围．

解答：解：（1）因为f（x）是奇函数，所以f（0）=0，
即

-1+n

2+m

=0，解得n=1，
从而有f(x)=

-2x+1

2x+1+m

，
又由f（1）=-f（-1）知

-2+1

4+m

=

- 1 2 +1

1+m

，
解得m=2
（2）由（1）知f(x)=

-2x+1

2x+1+2

=-

1

2

+

1

2x+1

，
易知f（x）在（-∞，+∞）上为减函数，
又∵f（x）是奇函数，
∴f（2-tx）=-f[-（2-tx）]=-f（tx-2），f（tx-2）+f（x）＞0
即f（x）＞f（2-tx）
即x＜2-tx，
即xt+x-2＜0对任意的t∈[-2，2]恒成立
∴

-2x+x-2＜0 2x+x-2＜0

∴

x＞-2 x＜ 2 3

解得：x∈(-2，

2

3

)．

点评：本题考查的知识点是函数恒成立问题，函数的奇偶性与函数的单调性，其中（1）的关键是判断出函数的奇偶性，（2）的关键是利用函数的单调性和奇偶性对不等式进行转化．