Question

已知函数f（x）=3sin（2x+）+1
（1）求f（x）的值域及当y取最大值时，自变量x的集合；
（2）求周期及对称点
（3）当x∈[0，]时，求函数f（x）的值域．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于正弦函数的值域，求得函数f（x）=3sin（2x+）+1的值域．再根据当2x+=2kπ+，
k∈z时，y取最大值为4，求得自变量x的集合．
（2）根据函数的周期T= 求得结果．令2x+=kπ，k∈z，求得x的值，可得函数图象对称点．
（3）根据x∈[0，]，利用正弦函数的定义域和值域求得函数f（x）的值域．
解答：解：（1）由于-1≤sin（2x+）≤1，故函数f（x）=3sin（2x+）+1的值域为[-2，4]，
且当2x+=2kπ+，k∈z时，y取最大值为4，此时自变量x的集合为{x|x=kπ+，k∈z}．
（2）函数的周期T===π．
令2x+=kπ，k∈z，可得 x=-，故函数图象对称点为（-，0）．
（3）当x∈[0，]时，2x+∈[，]，故当2x+=时，函数取得最大值为4，
当2x+=时，函数取得最小值为3（-）+1=-，
故函数f（x）的值域为[-，4]．
点评：本题主要考查复合三角函数的单调性、周期性、对称性，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．