Question

已知M（4，0），N（1，0），若动点P满足

MN

•

MP

=6|

PN

|．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）设过点N的直线l交轨迹C于A，B两点，若-

18

7

≤

NA

•

NB

≤-

12

5

，求直线l的斜率的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设动点P（x，y），由已知得-3(x-4)=6

(1-x)2+(-y)2

，由此得到点P的轨迹C的方程．
（2）设过N的直线l的方程为y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

y=k(x-1) x2 4 + y2 3 =1

，得(2+4k)2x2-8k2x+4k2-12=0，再由题设条件结合根与系数的关系进行求解．

解答：解：（1）设动点P（x，y），
则

MP

=(x-4，y)，

MN

=(-3，0)，

PN

=(1-x，-y)（2分）
由已知得-3(x-4)=6

(1-x)2+(-y)2

，化简得3x²+4y²=12，即

x2

4

+

y2

3

=1
∴点P的轨迹是椭圆

x2

4

+

y2

3

=1（6分）
（Ⅱ）设过N的直线l的方程为y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由

y=k(x-1) x2 4 + y2 3 =1

，得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0（8分）
∵N在椭圆内，∴△＞0，∴

x1+x2= 8k2 3+4k2 x1x2= 4k2-12 3+4k2

（10分）
∵

NA

•

NB

=(x1-1)(x2-1)+y1y2=(1+k2)(x1-1)(x2-1)=（1+k²）[x₁x₂-（x₁+x₂）+1]=(1+k2)

4k2-12-8k2+3+4k2

3+4k2

=

-9(1+k2)

3+4k2

（12分）
∴-

18

7

≤

-9(1+k2)

3+4k2

≤-

12

5

得1≤k²≤3
∴-

3

≤k≤-1或1≤k≤

3

（14分）

点评：本题考查轨迹方程和直线与圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，注意计算能力的培养．