Question

双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的两个焦点为F₁，F₂，若P上其上一点，且

a

sin∠PF1F2

=

c

sin∠PF2F1

，则双曲线离心率的取值范围为（　　）

• A．(1，

  2

  )
• B．(1，1+

  3

  ]
• C．(1，1+

  2

  ]
• D．（1，+∞）

Answer 1

分析：在△PF₁F₂中，

|PF1|

sin∠PF2F1

=

|PF2|

sin∠PF1F2

，于是

sin∠PF2F1

sin∠PF1F2

=

|PF1|

|PF2|

①，结合题意

sin∠PF2F1

sin∠PF1F2

=

c

a

②，由①②即可求得双曲线离心率的取值范围．

解答：解：依题意，不妨设P点为双曲线的右支上的一点，F₁为左焦点，F₂为右焦点，在△PF₁F₂中，由正弦定理得：

|PF1|

sin∠PF2F1

=

|PF2|

sin∠PF1F2

，
∴

sin∠PF2F1

sin∠PF1F2

=

|PF1|

|PF2|

①，
又

a

sin∠PF1F2

=

c

sin∠PF2F1

，
∴

sin∠PF2F1

sin∠PF1F2

=

c

a

②
由①②得：

|PF1|

|PF2|

=

c

a

，由假设可知|PF₁|＞|PF₂|，
∴

|PF1|-|PF2|

|PF2|

=

c-a

a

，由双曲线的定义知

2a

|PF2|

=

c-a

a

，
∴|PF₂|=

2a2

c-a

，由题意知|PF₂|≥c-a，
∴

2a2

c-a

≥c-a，即c²-2ac-a²≤0，
∴1＜

c

a

≤1+

2

．
故选C．

点评：本题考查双曲线的性质和应用，求得

|PF1|

|PF2|

=

c

a

是关键，也是难点，考查分析转化解决问题的能力，属于难题．