Question

（2012•石景山区一模）已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)右顶点与右焦点的距离为

3

-1，短轴长为2

2

．
（I）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过左焦点F的直线与椭圆分别交于A、B两点，若三角形OAB的面积为

3 2

4

，求直线AB的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据椭圆右顶点与右焦点的距离为

3

-1，短轴长为2

2

，可得

a-c= 3 -1 b= 2 a2=b2+c2

，由此，即可求得椭圆方程；
（Ⅱ）当直线AB与x轴垂直时，|AB|=

4

3

，此时S△AOB=

3

不符合题意；当直线AB与x轴不垂直时，设直线 AB的方程为：y=k（x+1），代入消去y得，进而可求三角形的面积，利用S=

3 2

4

，即可求出直线AB的方程．

解答：解：（Ⅰ）由题意，

a-c= 3 -1 b= 2 a2=b2+c2

，解得a=

3

，c=1．
即椭圆方程为

x2

3

+

y2

2

=1
（Ⅱ）当直线AB与x轴垂直时，|AB|=

4

3

，此时S△AOB=

3

不符合题意，故舍掉；
当直线AB与x轴不垂直时，设直线 AB的方程为：y=k（x+1），代入消去y得：（2+3k²）x²+6k²x+（3k²-6）=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则

x1+x2= -6k2 2+3k2 x1x2= 3k2-6 2+3k2

，所以 |AB|=

4 3 (k2+1)

2+3k2

．
原点到直线的AB距离d=

|k|

1+k2

，
所以三角形的面积S=

1

2

|AB|d=

1

2

|k|

1+k2

4 3 (k2+1)

2+3k2

．
由S=

3 2

4

可得k²=2，∴k=±

2

，
所以直线lAB：

2

x-y+

2

=0或lAB：

2

x+y+

2

=0．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理确定三角形的面积是关键．