Question

直线

3

ax+by=1与圆x²+y²=2相交于A，B两点（a，b∈R），且△AOB是直角三角形（O是坐标原点），则点P（a，b）与点（0，1）之间距离的最大值是（　　）

• A、

  17

  4

• B、4
• C、2
• D、

  7

  3

Answer 1

分析：根据AOB是直角三角形推断出该三角形为直角三角形，进而可求得心到直线的距离利用点到直线的距离求得a和b的关系，可推断出点P的轨迹为椭圆，然后利用消元法转化成二次函数求出最值即可．

解答：解：∵△AOB是直角三角形，
∴圆心到直线的距离d=1，即

1

3a2+b2

=1，整理得3a²+b²=1，
∴P点的轨迹为椭圆，
点P（a，b）与点（0，1）之间距离d=

(a-0)2+(b-1)2

=

a2+b2-2b+1

=

2 3 b2-2b+ 4 3

，
设f（b）=

2

3

b2-2b+

4

3

，此函数为对称轴为b=

3

2

的开口向上的抛物线，
∴当-1≤b≤1时，函数为减函数，
∴点P（a，b）与点（0，1）之间距离的最大值是2．
故选：C．

点评：本题主要考查了直线与圆的相交的性质，以及利用二次函数的性质最值，转化和化归的思想的应用．属于中档题．