Question

已知函数f（x）=（x²+kx+k）e^x，
（Ⅰ）若函数f（x）在区间（0，1）上单调递减，求实数k的取值范围；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（Ⅰ）若函数f（x）在区间（0，1）上单调递减，则f'（x）≤0即可，求实数k的取值范围；
（Ⅱ）求函数的导数，利用导数和单调性之间的关系求函数的单调区间．

解答：解：f'（x）=（2x+k）e^x+（x²+kx+k）e^x=（x²+kx+2x+2）e^x…（2分）
整理得f'（x）=（x+k）（x+2）e^x                  …..（3分）
（1）若函数f（x）在（0，1）上单调递减，则在x∈（0，1）上f'（x）≤0，
由于e^x＞0∴当x∈（0，1）时，有，（x+k）（x+2）≤0
由二次函数y=（x+k）（x+2）的图象可知，-k≥1，即k≤-1时满足题意…（5分）
（2）若k＞2，有-k＜-2，则
当x∈（-∞，-k）时，（x+k）（x+2）＞0，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增；
当x∈（-k，-2）时，（x+k）（x+2）＜0，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减；
当x∈（-2，+∞）时，（x+k）（x+2）＞0，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增；
…（8分）
若k=2，则f'（x）=（x+2）²e^x≥0，且仅当x=-2时f'（x）=0，
所以函数f（x）单调递增；..…（9分）
若k＜2，有-k＞-2，则
当x∈（-∞，-2）时，（x+k）（x+2）＞0，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增；
当x∈（-2，-k）时，（x+k）（x+2）＜0，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减；
当x∈（-k，+∞）时，（x+k）（x+2）＞0，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增；
…..（12分）
综上，当k＞2时，函数f（x）的单调递增区间是（-∞，-k）和（-2，+∞），
单调递减区间是（-k，-2）；
当k=2时，函数f（x）的单调递增区间是（-∞，+∞），无单调递减区间；
当k＜2时，函数f（x）的单调递增区间是（-∞，-2）和（-k，+∞），
单调递减区间是（-2，-k）．

点评：本题主要考查导数与函数单调性的关系，要求熟练掌握导数的应用，考查学生的运算能力．