Question

设椭圆的左，右焦点为F₁，F₂，（1，）为椭圆上一点，椭圆的长半轴长等于焦距，曲线C是以坐标原点为顶点，以F₂为焦点的抛物线，自F₁引直线交曲线C于P，Q两个不同的交点，点P关于x轴的对称点记为M，设．
（1）求椭圆方程和抛物线方程；
（2）证明：；
（3）若λ∈[2，3]，求|PQ|的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）由椭圆、抛物线的标准方程，列方程求解；（2）因为，所以y₁=λy₂，要证，只需证明
x₁-1═-λ（x₂-1）由直线和抛物线联立可得x₁x₂=1，故只需证明x₁=λ，x₂=，这个结论由联立式和向量式可得；（3）只需将|PQ|表示为关于λ的函数，求函数最值即可．
解答：解：（1）依题意，，又a²=b²+c²，解得，故椭圆方程为
∵F₂（1，0），设抛物线方程为y²=2px，则，p=2，故抛物线方程为y²=4x
（2）∵F₁（-1，0），设过此点的直线方程为y=kx+k，并设p（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则M（x₁，-y₁）
由得k²x²+（2k²-4）x+k²=0，△＞0时，x₁x₂=1 （1）
又∵，∴x₁+1=λ（x₂+1）（2），y₁=λy₂
由（1）（2）得，x₁=λ，x₂=
=（x₁-1，-y₁）=（λ-1，-y₁）
=-λ（x₂-1，y₂）=（λ-1，-λy₂）
故
（3）由（2）知 可取 P（λ，），Q（，），则|PQ|==
∵λ∈[2，3]，∴，∴|PQ|∈（ ，）
故|PQ|∈（，）
点评：此题综合考查了椭圆、抛物线的标准方程，直线与抛物线的关系，特别是与向量的结合，是问题具有一定难度．