Question

已知函数f（x）=-

1

3

x3-

1

3

x2+

5

3

x-4，x∈[0，+∞)．
（1）求f（x）的极值；
（2）当x∈[0，1]时，求f（x）的值域；
（3）设a≥1，函数g（x）=x³-3a²x-2a，x∈[0，1]，若对于任意x₁∈[0，1]，总存在x₀∈[0，1]，使得g（x₀）=f（x₁）成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用导数求函数的极值．
（2）利用导数研究函数的单调性，利用单调性和最值确定函数的值域．
（3）利用导数求函数的最值范围，利用g（x₀）=f（x₁）成立，求a的取值范围．

解答：解：（1）f′(x)=-x2-

2

3

x+

5

3

，令f'（x）=0，解得：x=-

5

3

（舍）或x=1
当0≤x≤1时，f'（x）≥0；当x＞1时，f'（x）＜0，
所以f（x）_极大值=f（1）=3，无极小值．
（2）由 （1）知f（x）在区间[0，1]单调递增，所以f（x）在区间[0，1]的值域为[f（0），f（1）]，即[-4，-3]．
（3）因为g'（x）=3x²-3ax且a≥1，所以当x∈[0，1]时g'（x）≤0，所以g（x）在区间[0，1]单调递减，
所以g（x）在区间[0，1]的值域为[g（1），g（0）]，即[1-3a²-2a，-2a]．
又对于任意x₁∈[0，1]，总存在x₀∈[0，1]，使得g（x₀）=f（x₁）成立等价为f（x）在区间[0，1]的值域⊆g（x）在区间[0，1]的值域，
即[-4，-3]⊆[1-3a²-2a，-2a]，
即

1-3a2-2a≤-4 -2a≥-3

，解得：1≤a≤

3

2

．

点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及求函数的最值问题，考查学生的运算能力，综合性较强，运算量较大．