题目内容

已知 $数学公式$ $数学公式$ ，函数f（x）= $数学公式$ ．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）的单调减区间；
（3）当 $数学公式$ 时，求函数f（x）的值域．

解：（1）∵ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
∴函数f（x）= $\text{[math]}$ =5 $\text{[math]}$ sinxcosx+sin²x+6cos²x= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ =5sin（2x+ $\text{[math]}$ ）+ $\text{[math]}$
∴f（x）的最小正周期 $\text{[math]}$ ；
（2）由2kπ+ $\text{[math]}$ ≤2x+ $\text{[math]}$ ≤2kπ+ $\text{[math]}$ 得kπ+ $\text{[math]}$ ≤x≤kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈Z
∴f（x）的单调减区间为[kπ+ $\text{[math]}$ ，kπ+ $\text{[math]}$ ]（k∈Z）
（3）∵ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴1≤f（x）≤ $\text{[math]}$
即f（x）的值域为[1， $\text{[math]}$ ]．
分析：（1）根据向量的数量积公式，结合二倍角公式、辅助角公式化简函数，利用周期公式，可求函数f（x）的最小正周期；
（2）由2kπ+ $\text{[math]}$ ≤2x+ $\text{[math]}$ ≤2kπ+ $\text{[math]}$ 得kπ+ $\text{[math]}$ ≤x≤kπ+ $\text{[math]}$ ，从而可得f（x）的单调减区间；
（3）由 $\text{[math]}$ ，可得 $\text{[math]}$ ，从而可求函数f（x）的值域．
点评：本题考查向量知识的运用，考查三角函数的化简，考查函数的单调性与值域，化简函数是关键．