Question

（2013•临沂一模）已知O是坐标原点，点M的坐标为（2，1），若点N（x，y）为平面区域

x+y≤2 x≥ 1 2 y≥x

上的一个动点，则

OM

•

ON

的最大值是

3

．

Answer 1

分析：根据向量数量积的坐标运算公式，得

OM

•

ON

=2x+y．作出题中不等式组表示的平面区域得到如图的阴影部分，将目标函数z=2x+y对应的直线进行平移，可得当x=y=1时，z=2x+y达到最大值，即

OM

•

ON

取得最大值．

解答：解：∵M（2，1），N（x，y），∴目标函数z=

OM

•

ON

=2x+y
作出不等式组

x+y≤2 x≥ 1 2 y≥x

表示的平面区域，
得到如图的△ABC及其内部，其中A（

1

2

，

1

2

），B（1，1），C（

1

2

，

3

2

）
设z=F（x，y）=2x+y，将直线l：z=2x+y进行平移，
当l经过点B时，目标函数z达到最大值
∴z_最大值=F（1，1）=3
故答案为：3

点评：本题给出二元一次不等式组，求目标函数z=

OM

•

ON

的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域、向量数量积的坐标运算公式和简单的线性规划等知识，属于基础题．