Question

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2，点E为棱AB的中点。

（I）证明：D₁E⊥A₁D；
（II）求二面角D₁-EC-D的大小；
（III）求点D到平面D₁EC的距离。

Answer 1

解：（Ⅰ）连接A₁D，AD₁，在长方体中，AE⊥平面AD₁，
∴AD₁是D₁E在平面AD₁内的射影，
AD=A₁A ，
∴四边形A₁DD₁A为正方形，
∴AD₁⊥A₁D，
由三垂线定理：D₁E⊥A₁D。
（Ⅱ）连接DE，
∵E为AB的重点，
∴AD=AE，EB=BC，
∴∠AED=∠BEC=45°，
∴DD₁⊥平面ABCD，
∴D₁E⊥EC，
故∠D₁ED为二面角D₁-EC-D的平面角。
在Rt△D₁DE中，DD₁=1，DE=，
∴tan∠D₁ED=，
故二面角D₁-EC-D的大小为。
（Ⅲ）过点D作DF⊥D₁E于F，
由（II）可得EC⊥面D₁DE，
又EC面D₁EC，
∴面D₁EC⊥面D₁DE，
∴DF⊥面D₁EC，
故DF为点D到平面D₁EC的距离，
，
∴D₁E=，，
故点D到平面D₁EC的距离为。