Question

各项均为正数的等比数列，a₁=1，=16，单调增数列的前n项和为，，且（）．
（1）求数列、的通项公式；
（2）令（），求使得的所有n的值，并说明理由．
（3） 证明中任意三项不可能构成等差数列．

Answer 1

解：（1）∵=，
∴=4，
∵，
∴q=2，
∴
∴b₃=＝8.  
∵+2①
当n≥2时，+2 ②
①-②得
即
∵
∴=3，
∴是公差为3的等差数列．
当n＝1时，+2，解得=1或=2，
当=1时，，此时=7，与矛盾；
当时，此时此时=8=，
∴．
（2）∵，
∴＝，
∴=2>1，=＞1，=2>1,>1，<1，
下面证明当n≥5时，
事实上，当n≥5时，＝＜0即，
∵<1  
∴当n≥5时，，
故满足条件的所有n的值为1，2，3，4．
(3)假设中存在三项p,q,r (p<q<r,p,q,R∈N*)使a_p, a_q, a_r构成等差数列，
∴ 2a_q=a_p+a_r，即2·2^q-1=2^p-1+2^r-1．
∴2^q-p+1=1+2^r-p．
因左边为偶数，右边为奇数，矛盾．
∴假设不成立，
故不存在任意三项能构成等差数列．