Question

【题目】一儿童游乐场拟建造一个“蛋筒”型游乐设施，其轴截面如图中实线所示．ABCD是等腰梯形，AB=20米，∠CBF=α（F在AB的延长线上，α为锐角）．圆E与AD，BC都相切，且其半径长为100﹣80sinα米．EO是垂直于AB的一个立柱，则当sinα的值设计为多少时，立柱EO最矮？

Answer 1

【答案】解：如图所示，以AB所在直线为x轴，以线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系．
因为B（10，0），kBC=tanα，所以直线BC的方程为：y=tanα（x﹣10），即xtanα﹣y﹣10tanα=0．
设圆心E（0，t），（t＞0），由圆E与直线BC相切，得100﹣80sinα= = ，
所以EO=t= ，
令f（α）= ，α∈（0， ），则f′（α）= ，
设sinα0= ，α0∈（0， ）．列表如下：

α	（0，α0）	α0	（α0 ， ）
f′（α）	﹣	0	+
f（α）	减	极小值	增

所以当α=α0 ， 即sin 时，f（α）取最小值．
答：当sin 时，立柱EO最矮．
【解析】以AB所在直线为x轴，以线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，由已知可求直线BC的方程为：xtanα﹣y﹣10tanα=0，设圆心E（0，t），（t＞0），由圆E与直线BC相切，可求EO=t= ，令f（α）= ，α∈（0， ），则f′（α）= ，设sinα0= ，α0∈（0， ）．列表可求EO的最小值．
【考点精析】解答此题的关键在于理解正弦定理的定义的相关知识，掌握正弦定理:．