Question

已知函数f（x）=-alnx（a∈R），若函数f（x）在[1，2]为增函数，且f′（x）在[1，2]上存在零点（f′（x）为f（x）的导函数），则a的值为________．

Answer 1

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分析：利用函数的单调性与导数的关系，结合导数求函数的单调区间的步骤是①求导函数f′（x）；②解f′（x）＞0（或＜0）；③得到函数的增区间（或减区间），得到a≤x²，在[1，2]上恒成立，从而有a≤1．再利用f′（x）在[1，2]上存在零点，得出a≥1，两者结合即可求出a的值．
解答：∵函数f（x）=-alnx（a∈R），
∴f′（x）=x-，
∵函数f（x）在[1，2]为增函数，
∴x-≥0在[1，2]上恒成立，
即a≤x²，在[1，2]上恒成立，∴a≤1．
∵且f′（x）在[1，2]上存在零点，
∴存在x∈[1，2]，使得x-=0成立，
即存在x∈[1，2]，使得a=x²
∴a≥1，
∴a=1．
故答案为：1．
点评：本题主要考查了函数的单调性与导数的关系、函数的零点等基本知识，考查了分析问题和解决问题的能力，属于基础题．