Question

11．设M是椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1上的一点，F₁，F₂为焦点，∠F₁MF₂=$\frac{π}{6}$，求△F₁MF₂的面积．

Answer 1

分析 先根据椭圆的标准方程，求得半焦距c，进而根据椭圆的定义求得|MF₁|+|MF₂|的值，进而利用余弦定理求得|MF₁|和|MF₂|的关系式，联立方程求得|MF₁|•|MF₂|，最后根据三角形面积公式求得三角形的面积．

解答 解：由椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1，得a=5，b=4，c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=3．
根据椭圆定义，有|MF₁|+|MF₂|=2a=10．
在△F₁MF₂中，由余弦定理，得到
|F₁F₂|²=|MF₁|²+|MF₂|²-2|MF₁|•|MF₂|•cos∠F₁MF₂．
即36=|MF₁|²+|MF₂|²-2|MF₁|•|MF₂|•cos$\frac{π}{6}$，
36=|MF₁|²+|MF₂|²-$\sqrt{3}$|MF₁|•|MF₂|
=（|MF₁|+|MF₂|）²-（2+$\sqrt{3}$）|MF₁|•|MF₂|=10²-（2+$\sqrt{3}$）|MF₁|•|MF₂|，
解得|MF₁|•|MF₂|=64（2-$\sqrt{3}$）．
△F₁MF₂的面积为：S=$\frac{1}{2}$|MF₁|•|MF₂|sin∠F₁MF₂
=$\frac{1}{2}$×64（2-$\sqrt{3}$）×sin$\frac{π}{6}$=16（2-$\sqrt{3}$）．

点评 本题主要考查了椭圆的应用．特别是利用椭圆的定义解决椭圆的实际问题，同时考查解三角形的余弦定理和面积公式的运用，属于中档题．