Question

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是AA₁、AB的中点，则EF与D₁B₁所成角的度数是

1. A.
   30°
2. B.
   45°
3. C.
   60°
4. D.
   120°

Answer 1

C
分析：连接A₁B、BD、A₁D，设正方体的棱长为1，可得△A₁BD是边长为2的等边三角形，得∠A₁BD=60°．再由平行四边形BB₁D₁D和三角形中位线，证出∠A₁BD就是异面直线EF与D₁B₁所成角，即可得到本题的答案．
解答：连接A₁B、BD、A₁D，设正方体的棱长为1，则
在△A₁BD中，A₁B=BD=A₁D=
∴△A₁BD是等边三角形，可得∠A₁BD=60°
∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，BB₁∥DD₁且BB₁=DD₁
∴四边形BB₁D₁D是平行四边形，可得D₁B₁∥BD
∵EF是△A₁AB的中位线，可得EF∥A₁B
∴∠A₁BD就是异面直线EF与D₁B₁所成角
由此可得异面直线EF与D₁B₁所成角等于60°
故选：C
点评：本题在正方体中求异面直线所成的角，着重考查了正方体的性质、异面直线所成角的定义及其求法等知识，属于基础题．利用平移法构造出异面直线的所成角，是解答本题的关键．