Question

已知O为坐标原点，

OA

=(1，2，3)，

OB

=(2，1，2)，

OC

=(1，1，2)，若点M在直线OC上运动，则

AM

•

BM

的最小值为

 

．

Answer 1

分析：设

OM

=x

OC

，进而利用空间向量的数量积运算求

AM

•

BM

的最小值．

解答：解：∵点M在直线OC上运动，
∴设

OM

=x

OC

，
则

OM

=x

OC

=（x，x，2x）．
即M（x，x，2x），
∵

OA

=(1，2，3)，

OB

=(2，1，2)，

OC

=(1，1，2)，
∴A（1，2，3），B（2，1，2），
∴

AM

•

BM

=（x-1，x-2，2x-3）•（x-2，x-1，x-2）=（x-1）（x-2）+（x-2）（x-1）+（2x-3）（2x-2）=6x²-16x+10=6（x-

4

3

）²-

2

3

，
∴当x=

4

3

时，

AM

•

BM

的最小值为-

2

3

，
故答案为：-

2

3

．

点评：本题主要考查空间向量数量积的运算，利用点点M在直线OC上运动，求出M的坐标是解决本题的关键，利用数量积的坐标公式转化为一元二次函数，利用二次函数求解即可，涉及的知识点较多，综合性较强．