Question

已知以向量v=为方向向量的直线l过点，抛物线C：y²=2px（p＞0）的顶点关于直线l的对称点在该抛物线的准线上.

（1）求抛物线C的方程；

（2）设A、B是抛物线C上两个动点，过A作平行于x轴的直线m,直线OB与直线m交于点N，若·+p²=0 （O为原点，A、B异于原点），试求点N的轨迹方程.

Answer 1

（1）y²=4x（2）点N的轨迹方程为x=-2(y≠0)

解析:

（1）由题意可得直线l的方程为y=x+,                                                ①

过原点垂直于l的直线方程为y=-2x.                                                         ②

解①②得x=-.

∵抛物线的顶点关于直线l的对称点在该抛物线的准线上，

∴-=-×2, p=2.

∴抛物线C的方程为y²=4x.

(2)设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),N(x,y),由题意知y=y₁.

由·+ p ²=0，得x₁x₂+y₁y₂+4=0,

又y₁²=4x₁,y₂²=4x₂,解得y₁y₂=-8,                                                                ③

直线ON：y=x，即y=x.                                                                  ④

由③、④及y=y₁得点N的轨迹方程为x=-2(y≠0).