Question

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n（ n∈N^*），S₃=18，a₄=2．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设bn=

1

n(12-an)

，求T_n=b₁+b₂+…+b_n；
（3）若数列{c_n}满足cn=

2n2+48

n

Tn，求c_n的最小值及此时n的值．

Answer 1

分析：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，由题意可得关于首项和公差的方程组，解得代入通项公式可得；（2）由（1）可得b_n=

1

2

（

1

n

-

1

n+1

），由裂项相消法求和可得；（3）由（2）可得cn=

2n2+48

n

Tn=n+1+

25

n+1

-2，由基本不等式可得．

解答：解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，
则S₃=3a₁+

3×2

2

d=18，a₄=a₁+3d=2，
解得a₁=8，d=-2，
∴a_n=8-2（n-1）=-2n+10；
（2）由（1）可得bn=

1

n(12-an)

=

1

n(12+2n-10)

=

1

n(2n+2)

=

1

2

（

1

n

-

1

n+1

），
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=

1

2

（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

）=

n

2(n+1)

（3）由（2）可得cn=

2n2+48

n

Tn=

n2+24

n+1

=

(n+1)2-2(n+1)+25

n+1

=n+1+

25

n+1

-2≥2

25

-2=8，
当且仅当n+1=

25

n+1

，即n=4时取等号，此时c_n取最小值8

点评：本题考查等差数列的通项公式，涉及裂项相消法求和以及基本不等式的应用，属中档题．