Question

已知函数f（x）=asinxcosx-2cos²x（x∈R）的图象经过点M(

π

4

，0)，其中常数a∈R．
（1）求a的值及函数f（x）的最小正周期T；
（2）当x∈[0，

π

2

]时，求函数f（x）的最值及相应的x值．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角的三角函数公式化简并结合f(

π

4

)=0解出a=2，从而化简得f（x）=

2

sin(2x-

π

4

)-1，利用三角函数的周期公式即可算出最小正周期T；
（2）先由x的范围算出2x-

π

4

∈[-

π

4

，

3π

4

]，再利用正弦函数的图象与性质，即可得到f（x）的最大、最小值及相应的x值．

解答：解：（1）f（x）=asinxcosx-2cos²x=

a

2

sin2x-cos2x-1…（1分）
∵函数f（x）的图象经过点M(

π

4

，0)，
∴f(

π

4

)=0，即

a

2

sin

π

2

-cos

π

2

-1=0，得a=2．                          …（2分）
从而f（x）=sin2x-cos2x-1=

2

sin(2x-

π

4

)-1，…（4分）
所以T=

2π

2

=π．…（6分）
（2）当x∈[0，

π

2

]时，2x-

π

4

∈[-

π

4

，

3π

4

]，…（7分）
∴当2x-

π

4

=

π

2

，即x=

3π

8

时，f(x)max=

2

-1；     …（10分）
当2x-

π

4

=-

π

4

，即x=0时，f（x）_min=-2．…（12分）

点评：本题给出三角函数式满足的条件，求参数a值并求函数的周期与最值，着重考查了三角恒等变换、三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．