Question

若f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且对一切x，y＞0满足f(

x

y

)=f(x)-f(y).
（1）求f（1）的值；
（2）若f（6）=1，解不等式f(x+5)-f(

1

x

)≤2.

Answer 1

分析：本题第（1）问采用赋值法求出f（1）的值；第（2）问首先由f（6）=1分析出f（36）=2，再根据函数的单调性将原不等式转化为一元二次不等式．

解答：解：（1）令x=y=1，则有f（1）=f（1）-f（1）=0；
（2）∵对一切x，y＞0满足f(

x

y

)=f(x)-f(y)即f(

x

y

)+f(y)=f(x)，
∴对一切x，y＞0满足f（x）+f（y）=f（x•y），
又∵f（6）=1∴2=f（6）+f（6）=f（36）；
∵f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，
∴f(x+5)-f(

1

x

)≤2?

x+5＞0 x＞0 f[(x+5)•x]≤f(36)

?

x＞0 (x+5)•x≤36

?

x＞0 (x+9)•(x-4)≤0

?0＜x≤4
故不等式f(x+5)-f(

1

x

)≤2的解集为：（0，4]．

点评：赋值法是解决抽象函数常用的方法．抽象函数是以具体函数为背景的，“任意x＞0，y＞0时，f（x）+f（y）=f（xy）”的背景函数是f（x）=log_ax（a＞0），我们可以构造背景函数来帮助分析解题思路．