Question

设函数f（x）=ka^x-a^-x（a＞0且a≠1）是奇函数，
（1）求k的值；
（2）若f（1）＞0，试求不等式f（x²+2x）+f（x-4）＞0的解集；
（3）若f(1)=

3

2

，且g（x）=a^2x+a^-2x-2mf（x）在[1，+∞）上的最小值为-2，求m的值．

Answer 1

（1）∵f（x）为奇函数，
∴f（0）=0，∴k-1=0，
∴k=1
（2）∵f（1）＞0，∴a-

1

a

＞0，∴a＞1，
又f'（x）=a^xlna+a^-xlna=（a^x+a^-x）lna＞0
∴f（x）在R上单调递增，
原不等式可化为：f（x²+2x）＞f（4-x），
∴x²+2x＞4-x，即x²+3x-4＞0，
∴x＞1或x＜-4，
∴不等式的解集为{x|x＞1或x＜-4}
（3）∵f(1)=

3

2

，∴a-

1

a

=

3

2

，即2a²-3a-2=0，
∴a=2或a=-

1

2

（舍去）
∴g（x）=2^2x+2^-2x-2m（2^x-2^-x）=（2^x-2^-x）²-2m（2^x-2^-x）+2
令t=f（x）=2^x-2^-x，
∵x≥1，∴t≥f(1)=

3

2

，
∴g（x）=t²-2mt+2=（t-m）²+2-m²，
当m≥

3

2

时，当t=m时，g（x）_min=2-m²=-2，
∴m=2，
当m＜

3

2

时，当t=

3

2

时，g(x)min=

17

4

-3m=-2，m=

25

12

＞

3

2

，舍去，
∴m=2．