Question

已知f（x）是定义在R上的偶函数，且x≤0时，f（x）=log

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(-x+1)．
（Ⅰ）求f（0），f（1）；
（Ⅱ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅲ）若f（a-1）＜-1，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）分别令x=0，-1结合函数的奇偶性，即可得出f（0）=0，f（1）=f（-1）=-1；
（II）由已知可以设x＞0，然后利用函数的奇偶性转化到-x＜0，利用已知求出x＞0时的解析式即可．本题要做出整体代换，用-x代换x，然后写出整个定义域上的函数的解析式．
（Ⅲ）根据f（x）=log

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(-x+1)在（-∞，0]上为增函数，结合奇偶性得出f（x）在（0，+∞）上为减函数，将f（a-1）＜-1=f（1）
转化成绝对值不等式|a-1|＞1，解之即得．

解答：解：（I）分别令x=0，-1即可得出f（0）=0，f（1）=f（-1）=-1；
（II）令x＞0，则-x＜0，f（-x）=log

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(x+1)=f（x）
∴x＞0时，f（x）=log

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(x+1)
∴f(x)=

log 1 2 (x+1)，x＞0 log 1 2 (-x+1)，x≤0

（Ⅲ）∵f（x）=log

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(-x+1)在（-∞，0]上为增函数，
∴f（x）在（0，+∞）上为减函数
∵f（a-1）＜-1=f（1）
∴|a-1|＞1，
∴a＞2或a＜0．

点评：本题考查函数的奇偶性，函数的解析式的求法，分段函数的概念，奇偶性与单调性的综合应用．