Question

已知.

（1）若函数在区间上有极值，求实数的取值范围；

（2）若关于的方程有实数解，求实数的取值范围；

（3）当，时，求证：.

Answer 1

解：（1），   

当时，；当时，；

函数在区间（0，1）上为增函数；在区间为减函数     -------------------------3分

当时，函数取得极大值，而函数在区间有极值.

，解得.                                 ---------------------------5分

（2）由（1）得的极大值为，令，所以当时，函数取得最小值，又因为方程有实数解，那么，即，所以实数的取值范围是：.                                   ----------10分

（另解：，，

令，所以，当时，

当时，；当时，

当时，函数取得极大值为

当方程有实数解时，.）

（3）函数在区间为减函数，而，

，即                     

------------------12分

即，而，

结论成立.                    ----------------------16分