Question

（本小题满分12分）如图，在以点O为圆心，|AB|=4为直径的半圆ADB中，OD⊥AB，P是半圆弧上一点，∠POB=30°，曲线C是满足||MA|－|MB||为定值的动点M的轨迹，且曲线C过点P.

（Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；

（Ⅱ）设过点D的直线l与曲线C相交于不同的两点E、F，求直线l斜率的取值范围.

              

Answer 1

解：（Ⅰ）解法1：以O为原点，AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，则A（－2，0），B（2，0），D(0,2)，P（），依题意得|｜MA｜－｜MB｜|=｜PA｜－｜PB｜＝＜｜AB｜＝4.∴曲线C是以原点为中心，A、B为焦点的双曲线.设实半轴长为a，虚半轴长为b，半焦距为c，则c＝2，2a＝2，∴a²=2,b²=c²－a²=2.

∴曲线C的方程为.

解法2：同解法1建立平面直角坐标系，则依题意可得|｜MA｜－｜MB｜|=｜PA｜－｜PB｜＜｜AB｜＝4.∴曲线C是以原点为中心，A、B为焦点的双曲线.设双曲线的方程为＞0，b＞0）.

则由　 解得a²=b²=2,∴曲线C的方程为

(Ⅱ)解法1：依题意，可设直线l的方程为y＝kx+2，代入双曲线C的方程并整理得（1－k²）x²－4kx－6=0.                      ①∵直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，∴  　　 ∴直线l的斜率的取值范围为（－,－1）∪（－1，1）∪（1，）