Question

已知函数f（x）=|x|（x-a），a＞0．
（1）作出函数f（x）的图象；
（2）写出函数f（x）的单调区间；
（3）当x∈[0，1]时，由图象写出f（x）的最小值．

Answer 1

分析：（1）化简函数的解析式为f（x）=

x(x-a)，x≥0 -x(x-a)，x＜0

，再利用二次函数的图象特征作出函数的图象．
（2）由（1）结合函数的图象可得函数f（x）的单调减区间以及单调增区间．
（3）分当

a

2

≥1 和当0＜

a

2

＜1两种情况，结合图象利用函数的单调性求出函数的最小值．

解答：解：（1）函数f（x）=|x|（x-a）=

x(x-a)，x≥0 -x(x-a)，x＜0

，如图所示：
（2）由（1）可得函数f（x）的单调减区间为（0，

a

2

），单调增区间为（-∞，0），（

a

2

，+∞）．
（3）x＞0时，f（x）=x²-ax．
当

a

2

≥1，即a≥2时，f_min（x）=f（1）=1-a．
当0＜

a

2

＜1，即0＜a＜2时，f_min（x）=f（

a

2

）=-

a2

4

．

点评：本题主要考查二次函数的图象特征，带有绝对值的函数，根据函数的解析式求作函数的图象，利用单调性求函数的最值，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．