题目内容

如图，平面ABCD⊥平面ABEF，ABCD是正方形，ABEF是矩形，且 $数学公式$ ，G是EF的中点．
（1）求证：平面AGC⊥平面BGC；
（2）求二面角B-AC-G的大小．

解：（1）证明：∵G是矩形ABEF的边EF的中点
∴AG=BG= $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$
∴AG²+BG²=AB²
∴AG⊥BG
又∵平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF=AB，
且BC⊥AB
∴BC⊥平面ABEF，
又∵AG?平面ABEF，
∴BC⊥AG
∵BC∩BG=B
∴AG⊥平面BGC
∵AG?平面AGC
∴平面AGC⊥平面BGC；
（2）作GM⊥AB于M，则M为AB中点，M为G的射影
作GH⊥AC于H，连接MH
则所求角∠GHM
Rt△ACB中， $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ．
分析：（1）由G是矩形ABEF的边EF的中点，我们由已知中ABEF是矩形，且 $\text{[math]}$ ，得到AG，及BG的长，根据勾股定理，我们可得到AG⊥BG，又由平面ABCD⊥平面ABEF，ABCD是正方形，结合面面垂直的性质，我们易得到BC⊥平面ABEF，进而由线面垂直的定义得到BC⊥AG，由线面垂直及面百垂直的判定定理，即可得到平面AGC⊥平面BGC；
（2）二面角B-AC-G的大小，先作出部署二面角的平面角，作GM⊥AB于M，则M为AB中点，M为G的射影，作GH⊥AC于H，连接MH，从而可知所求角∠GHM，进而可求．
点评：本题以面面垂直为载体，考查面面垂直的判定与行政，考查面面角，关键是正确运用定理，寻找线面垂直．