Question

已知函数f（x）=4^x+a•2^x+3，a∈R．若关于x的方程f（x）=0在（0，+∞）上有两个不同实根，则实数a的取值范围

(-4，-2

3

)

．

Answer 1

分析：利用换元法将函数转化为关于t的一元二次函数，利用一元二次函数根的分布进行求解．

解答：解：设t=2^x，∵x＞0，∴t＞1，
即函数f（x）=4^x+a•2^x+3等价为g（t）=t²+a•t+3在在（1，+∞）上有两个不同零点，
∵g（0）=3＞0，
∴满足

- a 2 ＞0 g(1)＞0 △=a2-12＞0

，
∴

a＜0 1+a+3＞0 a＞2 3 或a＜-2 3

，即

a＜0 a＞-4 a＞2 3 或a＜-2 3

，
∴-4＜a＜-2

3

．
故实数a的取值范围（-4，-2

3

），
故答案为：（-4，-2

3

）．

点评：本题主要考查函数零点的应用，利用换元法将函数转化为关于t的一元二次函数，利用一元二次函数根的分布进行求解是解决本题的关键．