Question

已知等差数列{a_n}公差d大于0，且a₂,a₅是方程x²-12x+27=0的两根，数列{b_n}的前n项和为T_n,且T_n=1-b_n.

(1)求数列{a_n},{b_n}的通项公式；

（2）设数列{a_n}的前n项和为S_n，试比较与S_n+1的大小，并说明理由.

Answer 1

思路分析：“试分析”在告诉我们，与S_n+1的大小可能随n的变化而变化，因此对n的取值验证要多取几个.

解：(1)由已知得，

又∵{a_n}的公差大于0，

∴a₅＞a₂.

∴a₂=3,a₅=9.

∴d==2,a₁=1.

∵T_n=1-b₁,∴b₁=.

当n≥2时，T_n-1=1-b_n-1,

∵b_n=T_n-T_n-1=1-b_n-(1-b_n-1),化简，得b_n=b_n-1,

∴{b_n}是首项为,公比为的等比数列，

∴b_n=×()^n-1=.∴a_n=2n-1,b_n=.

 (2)∵S_n=n=n²,

∴S_n+1=(n+1)²,=,

以下比较与S_n+1的大小:

当n=1时，,S₂=4,∴＜S₂,

当n=2时,,S₃=9,∴＜S₃,

当n=3时,,S₄=16,∴＜S₄,

当n=4时,,S₅=25,∴＞S₅.

猜想：n≥4时，＞S_n+1.

下面用数学归纳法证明：

（1）当n=4时，已证.

(2)假设当n=k(k∈N₊,k≥4)时,＞S_k+1,

即＞(k+1)²,

那么，n=k+1时,

=3×＞3(k+1)²=3k²+6k+3

=(k²+4k+4)+2k²+2k-1＞［(k+1)+1］²=S_（k+1）+1,

∴n=k+1时，＞S_n+1也成立.

由（1）(2)可知n∈N₊,n≥4时，＞S_n+1都成立.

综上所述，当n=1,2,3时，＜S_n+1,

当n≥4时,＞S_n+1.