Question

(12分)(2010·山东德州模拟)已知f(x)＝(x²＋ax＋a)e^－x(a≤2，x∈R)．

(1)当a＝1时，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)的极大值为4e^－2，求出a的值．

 

Answer 1

【答案】

解：(1)当a＝1时，f(x)＝(x²＋x＋1)e^－x，f′(x)＝e^－x(－x²＋x)，当f′(x)>0时，0<x<1.当f′(x)<0时，x>1或x<0.

∴f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(－∞，0)，(1，＋∞)．

(2)f′(x)＝(2x＋a)e^－x－e^－x(x²＋ax＋a)＝e^－x[－x²＋(2－a)x]．令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2－a.列表如下：

由表可知，f(x)_极大值＝f(2－a)＝(4－a)e^a－2.

∵4－a＝4且a－2＝－2，

所以存在实数a＝0使f(x)有极大值4e^－2.

【解析】略