Question

已知函数f （x）=

x2+2x+a

x

，x∈[1，+∞）．
（1）当a=4时，求f（x）的最小值；
（2）当a=

1

2

时，求f（x）的最小值；
（3）若a为正常数，求f（x）的最小值．

Answer 1

分析：（1）把f（x）用分离常数法分离，再利用函数的单调性来求f（x）的最小值．
（2）把f（x）用分离常数法分离，再利用函数的单调性来求f（x）的最小值．
（3）先用分离常数法把函数分离，在分

a

和1的大小并利用函数的单调性来求f（x）的最小值．

解答：解：（1）当a=4时，f（x）=x+

4

x

+2，易知，f（x）在[1，2]上是减函数，在（2，+∞）上是增函数．
∴f（x）_min=f（2）=6．
（2）当a=

1

2

时，f（x）=x+

1

2x

+2．
易知，f（x）在[1，+∞）上为增函数．
∴f（x）_min=f（1）=

7

2

．
（3）函数f（x）=x+

a

x

+2在（0，

a

]上是减函数，在[

a

，+∞）上是增函数．
若

a

＞1，即a＞1时，f（x）在区间[1，+∞）上先减后增，f（x）_min=f（

a

）=2

a

+2．
若

a

≤1，即0＜a≤1时，
f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，
∴f（x）_min=f（1）=a+3．

点评：本题考查分离常数法在求函数值域中的应用，分离常数法求函数值域一般适用于分式函数，且分子为二次形式，而分母为一次形式的题．