Question

设{a_n}是各项为正数的等差数列，a₁=a，其前n项和为S_n；{b_n}是各项均为正数的等比数列．
（1）若a₁=b₁=2，a₄-b₃=3，S₃+b₂=19．
（ⅰ）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（ⅱ）记T_n=a_nb₁+a_n-1b₂+…+a₁b_nn∈N^*，当T_n＞10220-6n，求n的最小值．
（2）是否存在等差数列{a_n}，使

S2n

Sn

=k（n∈N^*，k是非零常数），若存在，求出其通项公式；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）（ⅰ）根据a₁=b₁=2，a₄-b₃=3，S₃+b₂=19，建立方程组，求出公差与公比，即可求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（ⅱ）利用错位相减法求和，利用T_n＞10220-6n，即可求n的最小值．
（2）设出S_n，利用

S2n

Sn

=k（n∈N^*，k是非零常数），建立恒等式，即可求出其通项公式．

解答：解：（1）（ⅰ）因为a₁=b₁=2，a₄-b₃=3，S₃+b₂=19，
所以

2+3d-2q2=3 6+3d+2q=19

，解之得

d=3 q=2

或

d= 19 3 q=-3

因为{b_n}是各项均为正数，所以q＞0，故d=3，q=2．
所以a_n=2+3（n-1）=3n-1，bn=2•2n-1=2ⁿ． …（4分）
（ⅱ）T_n=a_nb₁+a_n-1b₂+…+a₁b_n=（3n-1）×2+（3n-4）×2²+…+2×2ⁿ，
2T_n=（3n-1）×2²+（3n-4）×2³+…+2×2ⁿ⁺¹，
两式相减可得-T_n=6n-2-3×（2²+2³+…+2ⁿ）-2×2ⁿ⁺¹=6n+10-10×2ⁿ，
∴T_n=10×2ⁿ-6n-10．…（8分）
由T_n＞10220-6n，得2ⁿ＞1023，∴n≥10．
符合条件的n的最小值为10．…（10分）
（2）设存在符合条件的数列{a_n}的公差为d，则Sn=na1+

n(n-1)

2

d．
∵

S2n

Sn

=k（k是非零常数），∴

4a+2(2n-1)d

2a+(n-1)d

=k，…（12分）
化简得（4d-dk）n+4a-2d-2ak+dk=0对所有n∈N^*成立．
所以有

4d-dk=0 4a-2d-2ak+dk=0

…（14分）
当d=0时，k=2，数列{a_n}通项公式为a_n=a；
当d≠0时，k=4，d=2a，数列{a_n}通项公式为a_n=2an-a．…（16分）

点评：本题考查等差数列与等比数列的通项公式，考查错位相减法求数列的和，考查学生分析解决问题的能力，考查计算能力，属于中档题．