Question

已知函数f（x）=

1

2

x2+2ax，g（x）=3a²lnx，其中a＞0．若两曲线y=f（x），y=g（x）有公共点，且在该点处的切线相同．则a的值为

e

5

6

．

Answer 1

分析：设公共点（x₀，y₀），根据题意得到，f（x₀）=g（x₀），f′（x₀）=g′（x₀），解方程组即可求出a的值．

解答：解：设y=f（x）与y=g（x）（x＞0）在公共点（x₀，y₀）处的切线相同
而f′（x）=x+2a，g′（x）=

3a2

x

，
由题意可知f（x₀）=g（x₀），f′（x₀）=g′（x₀），
则

1 2 x02+2ax0=3a2lnx0 x0+2a= 3a2 x0

解得x₀=a，a=e

5

6

故答案为：e

5

6

点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．