Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R）满足f（-1）=0，且对任意的x∈R，总有f（x）-x≥0，并且当x∈（0，2）时，求f（x）的解析式．

Answer 1

【答案】分析：由题意可得当x=1时，有1≤f（1）≤1，即f（1）=1，结合f（-1）=0可得，进而可得a+c=b=，又由二次函数的恒成立可得，可得，再由基本不等式可得当且只有当a=c=时，满足题意，进而可得解析式．
解答：解：∵对任意的x∈R，总有f（x）-x≥0，并且当x∈（0，2）时，
∴当x=1时，有1≤f（1）≤1，即f（1）=1，结合f（-1）=0可得，
解得a+c=b=，又∵对于一切实数x，f（x）-x≥0恒成立，
∴ax²+（b-1）x+c≥0（a≠0），对于一切实数x恒成立，
∴，即，
∵a+c=，且a+c≥2=，
∴当且只有当a=c=时，不等式成立，
∴f（x）=x²+x+
点评：本题考查函数解析式的求解，涉及基本不等式和恒成立问题，属中档题．