Question

【题目】已知函数．

（I）当时，求的单调区间和极值；

（II）若对于任意，都有成立，求k的取值范围；

(Ⅲ)若，且，证明：．

Answer 1

【答案】（I）极小值为，无极大值；（II）；（3）见解析.

【解析】试题分析：（1）由题意x>0，由此根据k≤0，k>0利用导数性质分类讨论，能求出函数f（x）的单调区间和极值．
（2）问题转化为，对于x∈[e，e2]恒成立，令，则，令，由此利用导数性质能求出实数k的取值范围．
（3）设，则，要证，只要证，即证，由此利用导数性质能证明.

试题解析：

（1），

①时，因为，所以，

函数的单调递增区间是，无单调递减区间，无极值；

②当时，令，解得，

当时，；当，．

所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是，

在区间上的极小值为，无极大值．

（2）由题意，，

即问题转化为对于恒成立，

即对于恒成立，

令，则，

令，则，

所以在区间上单调递增，故，故，

所以在区间上单调递增，函数．

要使对于恒成立，只要，

所以，即实数k的取值范围为．

（3）证法1 因为，由（1）知，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，且．

不妨设，则，

要证，只要证，即证．

因为在区间上单调递增，所以，

又，即证，

构造函数，

即，．

，

因为，所以，即，

所以函数在区间上单调递增，故，

而，故，

所以，即，所以成立．

证法2 要证成立，只要证：.

因为，且，所以，

即，，

即，

，同理，

从而，

要证，只要证，

令不妨设，则，

即证，即证，

即证对恒成立，

设，，

所以在单调递增，，得证，所以.