Question

已知圆M：(x+

3

a)2+y2=16a2(a＞0)及定点N(

3

a，0)，点P是圆M上的动点，点G在MP上，且满足|GP|=|GN|，G点的轨迹为曲线C．
（I）求曲线C的方程；
（II）若点A（1，0）关于直线x+y-t=0（t＞0）的对称点在曲线C上，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）设G（x，y），由|PG|+|GM|=4a，且|PG|=|GN|，知|GM|+|GN|=4a＞2

3

a，由椭圆定义，能求出曲线C的方程．
（II）设A（1，0）关于直线x+y-t=0（t＞0）的对称点为A′（m，n），则

n m-1 •(-1)=-1 m+1 2 + n 2 -t=0

，故A′（t，t-1），由A′（t，t-1）在曲线C：

x2

4a2

+

y2

a2

=1上，知5t²-8t+4-4a²=0，t＞0，由此能求出a的取值范围．

解答：解：（I）设G（x，y），
∵|PG|+|GM|=4a，且|PG|=|GN|，
∴|GM|+|GN|=4a＞2

3

a，
由椭圆定义，得曲线C的方程为

x2

4a2

+

y2

a2

=1．
（II）设A（1，0）关于直线x+y-t=0（t＞0）的对称点为A′（m，n），
则

n m-1 •(-1)=-1 m+1 2 + n 2 -t=0

，
∴

m=t n=t-1

，
∴A′（t，t-1），
∵A′（t，t-1）在曲线C：

x2

4a2

+

y2

a2

=1上，
∴t²+4（t-1）²=4a²，
化简，得5t²-8t+4-4a²=0，t＞0，
∵此方程有正根，令f（t）=5t²-8t+4-4a²，
其对称轴为t=

4

5

＞0，
∴△=（-8）²-4×5（4-4a²）≥0，
∴a≥

5

5

，或a≤-

5

5

，
∵a＞0，∴a≥

5

5

．

点评：本题考查曲线方程的求法和求实数的取值范围，具体涉及到椭圆的简单性质、直线与椭圆的位置关系、韦达定理、根与系数的关系等基本知识，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．