Question

已知函数f（x）=|x²+（3m+5）|x|+1|的定义域为R，且函数有八个单调区间，则实数m的取值范围为（ ）
A．
B．或m＞-1
C．
D．或m＞-1

Answer 1

【答案】分析：令g（x）=x²+（3m+5）|x|+1，由题意可知g（x）为偶函数，且其图象在y轴右侧与x轴有二不同的交点，从而可求得实数m的取值范围．
解答：解：∵函数f（x）=|x²+（3m+5）|x|+1|，
令g（x）=x²+（3m+5）|x|+1，
∵g（-x）=（-x）²+（3m+5）|-x|+1=x²+（3m+5）|x|+1=g（x），
∴g（x）为偶函数，
∵f（x）=|x²+（3m+5）|x|+1|有八个单调区间，
∴g（x）的图象在y轴右侧与x轴有二不同的交点，
∴即，
解得m＜-．
故选C．
点评：本题考查带绝对值的函数，考查二次函数的性质及应用，明确偶函数g（x）=x²+（3m+5）|x|+1的图象在y轴右侧与x轴有二不同的交点是关键，也是难点，考查分析与计算能力，属于难题．