Question

(本小题满分14分)已知定义域为的单调函数是奇函数，当时，.
（I）求的值；
（II）求的解析式；
（III）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

（1）；（2）；（3）。

试题分析： （I）因为f(x)是奇函数，所以f(-1)=-f(1)从而问题得解.
（II）因为f(x)为R上的奇函数，所以f(0)=0,然后用-x代替中的x,-f(x)代替中的f(x)再两边同乘以-1可得x<0的解析式.从而可得f(x)在R上的解析式是一个分段函数.
(III) 因为f(x)为定义域为的单调函数，并且由于由于当x
>0时，f(x)是,从而可得f(x)在R上是减函数，所以由得进一步可得,所以,然后再转化为一元二次不等式恒成立问题解决即可。
（1）定义域为的函数是奇函数 ，所以-------2分
（2）定义域为的函数是奇函数     ------------4分 
当时，             
又函数是奇函数            
                       ------------7分
综上所述      ----8分
（3）且在上单调
在上单调递减                      -------10分
由得
是奇函数      
，又是减函数  ------------12分
即对任意恒成立
 得即为所求----------------14分
点评：奇函数的图像关于原点对称，因而在求对称区间上的解析式时，可用利用-x,-f(x)分别代替对称区间上解析式中的x,f(x)即可得到所求区间上的解析式.另外奇函数在对称区间上具有相同的单调性，当定义域中有0值时，f(0)=0这些都是奇函数常用的结论，勿必记住.