Question

已知函数f（x）=

1

3

ax3+

1

2

bx2+cx+d（a，b，c，d为常数且a≠0），g（x）=f′（x）（f′（x）为f（x）的导数）．
（Ⅰ）若g（x）满足：①g′（0）＞0；②对于任意实数x，都有g（x）≥0．求

g(1)

g′(0)

的最小值；
（Ⅱ）若a=1且对任意实数x∈（-∞，0）时有f′（x）＞0；对于任意实数x∈（0，4）有f′（x）＜0，求b的实数范围；
（Ⅲ）若a＞0，-4a＜b＜4a，b²-4ac＞0，-（4a+c）＜2b＜4a+c，求证：函数g（x）的零点在区间（-2，2）内．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求函数的导数，根据条件求

g(1)

g′(0)

的最小值；
（Ⅱ）当a=1时，根据条件x∈（-∞，0）时有f′（x）＞0和x∈（0，4）有f′（x）＜0，解不等式即可求b的实数范围；
（Ⅲ）根据根的存在性定义，将条件转化为二次函数，利用二次函数的图象和性质进行证明．

解答：解：（Ⅰ）g（x）=f'（x）=ax²+bx+c，g'（x）=2ax+b
由题意有a＞0，b＞0且b²-4ac≤0，从而有c＞0且ac≥

b2

4

，
∴

g(1)

g′(0)

=

a+b+c

b

=

a+c

b

+1≥

2 ac

b

+1≥2（当且仅当b=2a=2c时等号成立）
∴

g(1)

g′(0)

的最小值为2；
（Ⅱ）a=1，f'（x）=x²+bx+c
由题意f（x）在（-∞，0）内为增函数，在（0，4）内为减函数，
∴x=0为f（x）的极值点，f'（0）=c=0．
∵f'（x）=x（x+b），
由f'（x）=0，得x₁=0，x₂=-b．
若-b＜0，即b＞0．f（x）在（-∞，-b）内为增函数，在（-b，0）上为减函数，在（0，+∞）上为增函数，与已知矛盾．
若-b＞0，即b＜0．f（x）在（-∞，0）内为增函数，在（0，-b）上为减函数，在（-b，+∞）上为增函数，
∴-b≥4，即b≤-4，
综上b≤-4．
（Ⅲ）证明：
∵g（x）=ax²+bx+c，a＞0，b²-4ac＞0，
∴g（x）的图象为开口向上且与x轴有两个不同交点的抛物线，
∵-4a＜b＜4a，a＞0，
∴-2＜-

b

2a

＜2
∵-（4a+c）＜2b＜4a+c，
∴

4a+2b+c＞0 4a-2b+c＞0

，
即

g(2)＞0 g(-2)＞0

∴g（x）=0的根在区间（-2，2）内，即g（x）的零点在区间（-2，2）内．

点评：本题主要考查函数的单调性和导数之间的关系，以及函数零点的证明和判断，考查学生的运算能力，综合性较强，难度较大．