Question

函数f（x）=x²+ax+3，
（1）若f（1-x）=f（1+x），求a的值；
（2）在第（1）的前提下，当x∈[-2，2]时，求f（x）的最值，并说明当f（x）取最值时的x的值；
（3）若f（x）≥a恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由已知中对任意的实数x都有f （1+x）=f （1-x） 成立，结合函数的对称性，我们易得到函数的图象的对称轴为直线x=1，结合二次函数的性质我们可以构造一个关于a的方程，解方程即可求出实数 a的值；
（2）在第（1）的前提下，由二次函数的单调性求得最值．
（3）对一切实数x恒成立，转化为二次函数恒为非负，利用根的判别式小于等于0即可．

解答：解：（1）∵f（1+x）=f（1-x）
∴y=f（x）的图象关于直线x=1对称
∴-

a

2

=1即a=-2
（2）a=-2时，函数f（x）=x²-2x+3在区间[-2，1]上递减，在区间[1，2]上递增，
∴当x=-2时，f_max（x）=f（-2）=11
当x=1时，f_min（x）=f（1）=2
（3）∵x∈R时，有x²+ax+3-a≥0恒成立，
须△=a²-4（3-a）≤0，即a²+4a-12≤0，所以-6≤a≤2．

点评：本题主要了一元二次不等式恒成立的问题，注意（2）、（3）两问的不同点，都是利用了二次函数图象的特点数形结合解决问题的．