题目内容

∫
2
-2
(
4-x2
+x)dx等于（　　）
A、0B、πC、2πD、2π+4
分析：由和的积分等于积分的和展开，前一部分由半圆的面积求得，后一部分直接由微积分基本定理求解．
解答：解：
∫
2
-2
(
4-x2
+x)dx
=
∫
2
-2
4-x2
dx
+∫
2
-2
xdx．
∫
2
-2
xdx=
1
2
x2
|
2
-2
=
1
2
×22-
1
2
×(-2)2=0，
由y=
4-x2
，得
y≥0
x2+y2=4
，
∴
∫
2
-2
4-x2
dx等于以原点为圆心，以2为半径的上半圆的面积，等于
1
2
π×22=2π．
∴
∫
2
-2
(
4-x2
+x)dx=2π．
故选：C．
点评：本题考查了定积分，考查了微积分基本定理，是基础的计算题
练习册系列答案
相关题目
以下四个命题
（1）f（x）=1（x∈R）不是函数．
（2）若函数f（x-1）的定义域为[1，2]，则函数f（2x）的定义域为[0，
1
2
]．
（3）函数f（x）=
2x-3
x
（x∈（3，6））的值域为{y|y≠2}
（4）解析式为f（x）=x2且值域为{1，4}的不同函数共有9个．
其中正确的命题是
（2）（4）
（2）（4）
（写出所有正确命题的序号）
计算
∫
2
-2
(
4-x2
+x2)dx的值为
 
．

若方程x2＋(m－2)x－m＋5＝0的两个根都大于2，求实数m的取值范围．

阅读下面的解法，回答提出的问题．

解：第一步，令判别式Δ＝(m－2)2－4(－m＋5)≥0，

解得m≥4或m≤－4；

第二步，设两根为x1，x2，由x1＞2，x2＞2得

，所以．

所以m＜－2．

第三步，由得m≤－4．

第四步，由第三步得出结论．

当m∈(－∞，－4]时，此方程两根均大于2．

但当取m＝－6检验知，方程x2－8x＋11＝0两根为x＝4±，其中4－＜2．

试问：产生错误的原因是什么？

已知函数f(x)＝alnx－x2＋1.

(1)若曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为4x－y＋b＝0，求实数a和b的值；

(2)若a<0，且对任意x1、x2∈(0，＋∞)，都|f(x1)－f(x2)|≥|x1－x2|，求a的取值范围．

【解析】第一问中利用f′(x)＝－2x(x>0)，f′(1)＝a－2，又f(1)＝0，所以曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y＝(a－2)(x－1)，即(a－2)x－y＋2－a＝0，

由已知得a－2＝4,2－a＝b，所以a＝6，b＝－4.

第二问中，利用当a<0时，f′(x)<0，∴f(x)在(0，＋∞)上是减函数，

不妨设0<x1≤x2，则|f(x1)－f(x2)|＝f(x1)－f(x2)，|x1－x2|＝x2－x1，

∴|f(x1)－f(x2)|≥|x1－x2|等价于f(x1)－f(x2)≥x2－x1，

即f(x1)＋x1≥f(x2)＋x2，结合构造函数和导数的知识来解得。

(1)f′(x)＝－2x(x>0)，f′(1)＝a－2，又f(1)＝0，所以曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y＝(a－2)(x－1)，即(a－2)x－y＋2－a＝0，

由已知得a－2＝4,2－a＝b，所以a＝6，b＝－4.

(2)当a<0时，f′(x)<0，∴f(x)在(0，＋∞)上是减函数，

不妨设0<x1≤x2，则|f(x1)－f(x2)|＝f(x1)－f(x2)，|x1－x2|＝x2－x1，

∴|f(x1)－f(x2)|≥|x1－x2|等价于f(x1)－f(x2)≥x2－x1，即f(x1)＋x1≥f(x2)＋x2，

令g(x)＝f(x)＋x＝alnx－x2＋x＋1，g(x)在(0，＋∞)上是减函数，

∵g′(x)＝－2x＋1＝(x>0)，

∴－2x2＋x＋a≤0在x>0时恒成立，

∴1＋8a≤0，a≤－，又a<0，

∴a的取值范围是

 

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