Question

【题目】设圆的圆心为，直线过点且与轴不重合，交圆于，两点，过点作的平行线交于点.

（1）求的值；

（2）设点的轨迹为曲线，直线与曲线相交于，两点，与直线相交于点，试问在椭圆上是否存在一定点，使得，，成等差数列（其中，，分别指直线，，的斜率）.若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】(1) (2)见证明

【解析】

（1）由且，可得，进而得到

，再由半径，即可求解；

（2）由（1）知得的方程，设直线的方程为，代入椭圆的方程，利用根与系数的关系和，，成等差数列，求得

，由对任意的该等式恒成立，求得，即可得到答案.

（1）因为圆的圆心为，所以且，

所以，所以，

所以，

又因为圆的半径为8，即，

所以.

（2）由（1）知，曲线是以，为焦点的椭圆，且长轴长为8，

所以曲线的方程为，

设直线的方程为，

代入椭圆化简得，

设，，，则，，

所以

，

因为，，成等差数列，所以，

因为，所以，

化简得，

对任意的该等式恒成立，所以，

所以存在点，使得，，成等差数列.