Question

已知函数f(x)=

1

4x-1

-a．
（1）求函数的定义域；
（2）若f（x）为奇函数，求a的值；
（3）用单调性定义证明：函数f（x）在（0，+∞）上为减函数．

Answer 1

分析：（1）求函数的定义域即求使函数有意义的自变量的取值范围，本题中只需分母不为零即可，解不等式即可
（2）已知函数为奇函数，可利用特殊值代入的方法，列方程求出参数值，再检验一下充分性即可设
（3）设x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，通过证明f（x₁）-f（x₂）＞0即可证明函数在（0，+∞）上为减函数，关键是将f（x₁）-f（x₂）进行变形，以利于判断符号，一般变形为因式乘积形式

解答：解：（1）要使函数有意义，需4^x-1≠0，解此不等式得x≠0，∴函数的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）
（2）∵f（x）为奇函数，∴f（-1）=-f（1），即

1

1 4 -1

-a=-

1

4-1

+a，即a=-

1

2

，经检验，a=-

1

2

时，f（x）为奇函数
∴a=-

1

2

，
（3）设x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂
则f（x₁）-f（x₂）=(

1

4x1-1

-a)-(

1

4x2-1

-a)=

1

4x1-1

-

1

4x2-1

=

4x2-4x1

(4x1-1)(4x2-1)

=

4x1(4x2-x1-1)

(4x1-1)(4x2-1)

∵x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂
∴4x1＞1，4x2＞1，4x2 -x1＞1
∴

4x1(4x2-x1-1)

(4x1-1)(4x2-1)

＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）
∴函数f（x）在（0，+∞）上为减函数

点评：本题考察了函数的定义域的求法，函数奇偶性的应用，函数单调性的定义及证明，要有一定的运算和变形能力